Limites de Sesion y el Teorema de Parada Opcional

1. Martingalas, Supermartingalas y el Capital de Tragaperras

Para abordar las reglas de parada con rigor formal, situamos la evolución del capital en un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}, P)$.

Sea $B_t$ el saldo tras la tirada $t$. Sea $X_t$ el multiplicador de pago obtenido, con $\mathbb{E}[X_t] = ext{RTP} < 1,00$. La variación patrimonial por tirada bajo apuesta unitaria $W = 1$ es $\Delta B_t = X_t - 1$, y su esperanza condicionada al historial $\mathcal{F}_{t-1}$ satisface:

\mathbb{E}[B_t - B_{t-1} \mid \mathcal{F}_{t-1}] = 	ext{RTP} - 1 = -	ext{HE} < 0

Al ser la deriva condicionada estrictamente negativa, el proceso $B_t$ constituye una supermartingala estricta:

\mathbb{E}[B_t \mid \mathcal{F}_s] \le B_s, \quad \forall s \le t

En una slot de casino, el proceso temporal es sin excepciones una supermartingala.

2. El Teorema de Parada Opcional de Doob y la Imposibilidad de Vencer al Margen

Un tiempo de parada $ au$ es una variable aleatoria con valores en $\{0, 1, 2, \dots\} \cup \{\infty\}$ tal que el suceso $\{ au \le t\}$ depende exclusivamente de los acontecimientos ocurridos hasta el paso $t$.

El Teorema de Parada Opcional de Doob postula que para una supermartingala regular y un tiempo de parada $ au$:

\mathbb{E}[B_	au] \le \mathbb{E}[B_0] = B_0

Y al existir una ventaja matemática persistente del operador ($- ext{HE} < 0$), para cualquier sesión finita ($\mathbb{E}[ au] > 0$):

\mathbb{E}[B_	au] = B_0 - 	ext{HE} \cdot \mathbb{E}\left[\sum_{t=1}^{	au} W_t
ight] < B_0

Este resultado demuestra que ningún protocolo de parada puede generar una esperanza económica superior al saldo de partida. El margen del juego no se vence sabiendo cuándo retirarse.

3. Mecánica de Doble Barrera Asimétrica: Asegurando la Varianza Positiva

Si las reglas de parada no crean rentabilidad, ¿cuál es el fundamento cuantitativo de fijar metas de salida?

La clave radica en diferenciar la esperanza matemática infinita de la probabilidad puntual de salida con beneficios en trayectorias individuales acotadas.

Si el juego no contempla un tope superior de retirada, la probabilidad asintótica de quiebra es idénticamente 1:

\lim_{t 	o \infty} P(B_t = 0 \mid B_0) = 1,00

Sin embargo, implementando una Regra de Doble Barrera:

	au = \inf\{ t \ge 0 : B_t \ge U 	ext{ (Take-Profit)} \quad 	ext{o} \quad B_t \le L 	ext{ (Stop-Loss)} \}

La probabilidad exacta de alcanzar la cota de beneficio $U$ antes de ser absorbido por el stop-loss $L$ equivale a:

P(	ext{Impactar } U 	ext{ antes de } L) = \frac{1 - \exp\left( \frac{2 \cdot 	ext{HE} \cdot D_{	ext{pérdida}}}{W \cdot \sigma^2} 
ight)}{1 - \exp\left( \frac{2 \cdot 	ext{HE} \cdot (D_{	ext{pérdida}} + G_{	ext{meta}})}{W \cdot \sigma^2} 
ight)}

Para un saldo inicial de $\$1.000,00$ con apuesta de $\$2,00$, $ ext{HE} = 0,04$, $\sigma = 8$, stop-loss fijado en $-\$300,00$ y take-profit en $+\$150,00$:

P(	ext{Impactar } +150 	ext{ antes de } -300) \approx 63,48\%

En el 63,48% de las ocasiones, el usuario concluye la sesión con balance positivo en mano. Si continúa apostando indefinidamente, dicha ganancia temporal se esfuma.

3.1. Matriz Fundamental de Markov y Absorción Discreta con Traspaso de Barrera

Aunque la aproximación browniana ofrece una visión continua del proceso, el saldo de un jugador en tragaperras constituye con total rigor una cadena de Markov en tiempo discreto con espacio de estados finito, estructurado en estados transitorios $T$ y fronteras absorbentes $A = \{L, U\}$.

La matriz estocástica de transición se estructura en la forma canónica de bloques:

P = \begin{pmatrix} Q & R \ 0 & I \end{pmatrix}

Donde la submatriz $Q$ contiene las probabilidades de transición entre saldos intermedios y $R$ define los flujos hacia las condiciones de parada definitiva.

La Matriz Fundamental de Markov $N$ se obtiene calculando:

N = (I - Q)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} Q^k

Cada coeficiente $n_{ij}$ determina el número esperado de visitas al nivel de saldo $j$ antes de la parada, habiendo iniciado la sesión con capital $i = B_0$. El vector de probabilidades absolutas de éxito se deduce mediante la multiplicación $B = N \cdot R$.

Esta perspectiva matricial evidencia la trascendencia del fenómeno de overshoot: debido a la varianza y a los premios de cuantía discontinua, el saldo suele rebasar el umbral $U$ de forma abrupta. Si el apostador no ejecuta la retirada inmediata en el instante preciso del rebase, el proceso continúa y la absorción terminal en la cota de ruina se consuma casi con total certidumbre.

4. Duración Media de la Sesión ($\mathbb{E}[ au]$)

Aplicando la Identidad de Wald, el número medio de tiradas hasta impactar cualquiera de los dos límites se calcula como:

\mathbb{E}[	au] = \frac{B_0 - \left( P_{	ext{victoria}} \cdot U + (1 - P_{	ext{victoria}}) \cdot L 
ight)}{	ext{HE} \cdot W}

En nuestro escenario, la sesión dura un promedio de 179 jugadas (aproximadamente 15 minutos). La barrera doble comprime la exposición temporal, permitiendo capturar el beneficio antes de que la fricción acumulada del juego pase factura.

5. Sesgos Cognitivos: La Falacia del Dinero de la Casa

• Efecto "House Money": El jugador cataloga las ganancias como "dinero del casino", relajando su control del riesgo y eliminando las metas de retirada.
• Persecución Obsesiva de Pérdidas: Al aproximarse al stop-loss, el usuario desplaza la barrera ("sólo 50 tiradas más para empatar"), consumando la ruina absoluta.
• Disciplina Estricta de Retirada: Alcanzada la cota de ganancia fijada previamente, el jugador debe cerrar la aplicación de inmediato, bloqueando la exposición adicional ante la ventaja matemática del casino.

6. Cuadro Estratégico de Barreras Operativas